Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler Konu Anlatımı

11.12.2023

A⁺

A^-

Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler Konu Anlatımı: Cebirin temel kavramlarını, özdeşlikleri ve bu ifadelerin matematiksel problemlerdeki uygulamalarını keşfedin.

CEBİRSEL İFADELER

Cebirsel İfade ve Bilinmeyen

En az bir bir bilinmeyen ve bir işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir. Cebirsel ifadelerde sayıları temsil eden harflere değişken ya da bilinmeyen denir.

ÖRNEK: Bir sayının 2 katının 3 fazlası ifadesini cebirsel ifade olarak yazalım.

Cebirsel ifademiz: 2x + 3 olur. Bu cebirsel ifadede “x” bilinmeyendir.

Terim ve Katsayı

Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımına terim denir. Terimlerde çarpım durumunda bulunan sayıya katsayı denir.

ÖRNEK: 5x ifadesinde x bilinmeyen, 5 ise katsayıdır.

Terimleri birbirinden ayırmak için “+” ve “−” sembollerinin önünden ifadeyi böleriz. Her parça bir terimdir.

ÖRNEK: 5x + 2y − 7 ifadesini inceleyelim.

5x + 2y − 2 ifadesini “+” ve “−” işaretlerinin önünden bölersek terimleri elde ederiz.

5x / + 2y / − 7 ifadesi 3 terimlidir. Terimleri 5x, 2y ve −7’dir

Sabit Terim

İçerisinde değişken bulunmayan terime sabit terim denir.

ÖRNEK: 6y + 12 ve −3x − 9 ifadelerinde sabit terimleri bulalım.

6y + 12 cebirsel ifadesinde sabit terim +12’dir.

−3x − 9 cebirsel ifadesinde sabit terim −9’dur.

Sabit terim de bir katsayıdır.

5x² − 7 cebirsel ifadesinde kat sayılar 5 ve −7’dir.

CEBİRSEL İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ

Cebirsel ifadelerle çarpma işlemi yapılırken çarpanlardan birindeki her bir terim ile diğerindeki her bir terim ayrı ayrı çarpılır. Elde edilen sonuçta benzer terimler varsa bunlar arasında toplama çıkarma işlemi yapılarak sadeleştirme yapılır.

1 Terimli ile 1 Terimli Cebirsel İfadeyi Çarpma

Katsayılar çarpılıp katsayı olarak, bilinmeyenler çarpılıp bilinmeyen olarak sonuca yazılır.

ÖRNEK: 6 ifadesi ile 2x ifadesini çarpalım.

6 ile 2x’in katsayısı (2) çarpılır. 6.2=12

Bilinmeyen olarak sadece x olduğu için sonuç 12x bulunur.

ÖRNEK: 3x ifadesi ile 5x ifadesini çarpalım.

3x’in katsayısı (3) ile 5x’in katsayısı (5) çarpılır. 3.5=15

3x’teki bilinmeyen (x) ile 5x’teki bilinmeyen (x) çarpılır. x.x=x²

Sonuç: 3x.5x = 15x²

ÖRNEK: −4x ile 2y’i çarpalım

Katsayılar çarpımı: −4.2=−8

Biinmeyenler çarpımı: x.y = xy

−4x . 2y = −8xy

1 Terimli ile 2 Terimli Cebirsel İfadeyi Çarpma

Bir terimlideki terim diğer iki terimle sırayla çarpılır ve en son varsa sadeleştirme yapılır.

ÖRNEK: 5 . ( 7x + 2y ) işlemini yapalım.

Tek terimli 5, diğer iki terimle ayrı ayrı çarpılır. (Dağılma Özelliği)

= 5 . 7x + 5 . 2y

= 35x + 10y

ÖRNEK: −2x . ( x + 3 ) işleminde de aynı şekilde x ve +3’ü sırayla −2x ile çarparız.

= ( −2x . x) + ( −2x . 3 )

= (−2x²) + (−6x)

2 Terimli ile 2 Terimli Cebirsel İfadeyi Çarpma

İlk çarpandaki her bir terim ile ikinci çarpandaki her bir terim ayrı ayrı çarpılır. Sonra sadeleştirme varsa yapılır.

ÖRNEK: ( 2x + 3 ) . ( 4x + 1 ) işlemini yapalım.

İlk ifadedeki 2x’i diğer ifadedeki 4x ve +1 ile ayrı ayrı çarpacağız.

Benzer şekilde ilk ifadedeki +3’ü diğer ifadedeki 4x ve +1 ayrı ayrı çarpacağız.

= (2x.4x) + (2x.+1) + (3.4x) + (+3.+1)

= 8x² + 2x + 12x + 3 [2x ile 12x toplanır]

= 8x² + 14x + 3

ÖRNEK: ( x − 1 )² işlemini yapalım.

( x − 1 )² = ( x − 1 ) . ( x − 1 ) demektir.

Önce ilk ifadedeki x ile diğer ifadedeki x ve −1 çarpılır.

Sonra ilk ifadedeki −1 ile diğer ifadedeki x ve −1 çarpılır.

= (x.x) + (x.−1) + (−1.x) + (−1.−1)

= x² + (−x) + (−x) + 1 [−x ile −x toplanır]

= x² −2x +1

ÖZDEŞLİK NEDİR?

İçindeki değişkenlere verilen bütün gerçek sayılar için doğru olan denklemlere özdeşlik denir.

Özdeşlik mi? Özdeşlik Değil mi?

Bir ifade için “Özdeşlik mi yoksa denklem mi?” demek yanlış bir sorudur çünkü özdeşlikler de aynı zamanda denklemdir. “Bu ifade özdeşlik mi yoksa özdeşlik değil mi?” sorusu ise doğru bir sorudur ve bu sorunun cevabını bulmaya çalışalım. Özdeşlik ile özdeşlik olmayan bir denklem arasındaki fark; özdeşlikte değişkene verilen her gerçek sayı değerinde eşitlik sağlanır, özdeşlik olmayan bir denklemde ise sadece bazı gerçek sayı değerlerinde eşitlik sağlanır.

ÖRNEK: 2.(x − 2) = 2x − 4 ve 2.(x − 2) = 4 eşitliklerinde x yerine farklı değerler vererek eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

x yerine her iki eşitlikte de 1 yazalım

2.(x − 2) = 2x − 4
2.(1 − 2) = 2.1 − 4
−2 = −2

2.(x − 2) = 4
2.(1 − 2) = 4
−2 ≠ 4

x yerine her iki eşitlikte de 2 yazalım

2.(x − 2) = 2x − 4
2.(2 − 2) = 2.2 − 4
0 = 0

2.(x − 2) = 4
2.(2 − 2) = 4
0 ≠ 4

x yerine her iki eşitlikte de 4 yazalım

2.(x − 2) = 2x − 4
2.(4 − 2) = 2.4 − 4
4 = 4

2.(x − 2) = 4
2.(4 − 2) = 4
4 = 4

Görüldüğü gibi soldaki eşitlik x yerine yazdığımız üç değer için de sağlandı. Sağdaki eşitlik ise x yerine sadece 4 yazdığımızda sağlandı. Bu yüzden: 2.(x − 2) = 2x − 4 bir özdeşlikti, 2.(x − 2) = 4 özdeşlik değildir.

► Bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını anlamak için farklı değerler verip eşitliğin sağlanıp sağlanmadığına bakılabilir. Eğer verilen tüm değerler için sağlamıyorsa özdeşlik değildir.

► Bir eşitliğin özdeşlik mi denklem mi olduğunun ikinci yolu ise denklemi çözmektir. Eğer denklemi çözdükten sonra 0=0 çıkıyorsa bu denklem bir özdeşliktir.

ÖRNEK: 3x − 5 = x + 3 ve 2x + 2 = 2 + 2x eşitliklerinden özdeşlik olanlarını belirleyelim.

Önce ilk denklemi çözelim.

3x − 5 = x + 3
3x − x = 3 + 5
2x = 8
x = 4

İlk eşitlik özdeşlik değildir. (Sadece x=4 için eşitlik sağlanır.)

Şimdi ikinci denklemi çözelim.

2x + 2 = 2 + 2x
2x − 2x = 2 − 2
0 = 0

İkinci eşitlik bir özdeşliktir. (x’in her değeri için eşitlik sağlanır.)

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

Tam Kare Özdeşliği – İki Terimin Toplamının Karesi

İki terimin toplamının karesi, bu iki terimin kareleri ve bu iki terimin çarpımının iki katının toplamına eşittir.
(a + b)² = a² + 2ab + b²

ÖRNEK: Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 102’nin karesini bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.

(100 + 2)² = 100² + 2.100.2 + 2²
(100 + 2)² = 10000 + 400 + 4
(100 + 2)² = 10404

Tam Kare Özdeşliği – İki Terimin Toplamının Karesini Modelleme

Birinci şekildeki karenin alanı, parçaların alanları toplamına eşittir.

Tam Kare Özdeşliği – İki Terimin Farkının Karesi

İki terimin farkının karesi, bu iki terimin kareleri toplamından bu iki terimin çarpımının iki katının çıkarılmasına eşittir.
(a − b)² = a² − 2ab + b²

ÖRNEK: Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 97’nin karesini bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.

(100 − 3)² = 100² − 2.100.3 + 3²
(100 − 3)² = 10000 − 600 + 9
(100 − 3)² = 9409

Tam Kare Özdeşliği – İki Terimin Farkının Karesinin Modelleme

Birinci şekildeki yeşil karenin alanı, büyük karenin alanından beyaz bölgelerin alanlarının çıkarılmasına eşittir.