Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı

Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı: Matematiksel düşünme becerilerinizi geliştirin, çarpanları ve katları anlama ve uygulama yöntemlerini öğrenin.

Çarpan (Bölen)

Her pozitif tamsayı en az iki pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu sayıların her birine

çarpan denir. Bir tam sayının çarpanları aynı zamanda bölenleridir.

Örnek 1: 12 sayısının pozitif çarpanlarını ( bölenlerini ) bulalım.

1 . 12 = 12

2 . 6 = 12 12 = 1,2,3,4,6,12

3 . 4 = 12

Örnek 2: 24 sayısının pozitif çarpanlarını (bölenlerini ) bulalım.

24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

** Gökkuşağı yöntemi

** 1 sayısı tüm pozitif tam sayıların çarpanıdır. ** Bir pozitif tam sayı kendisinin çarpanıdır.

Asal Sayılar

1 ve kendinden başka hiçbir sayma sayısı ile tam bölünemeyen 1’den büyük doğal sayılara asal

sayı denir.

** Sadece iki çarpanı (böleni) olan sayılara asal sayılar denir. Bu sayının çarpanlarından biri sayının kendisi diğeri ise 1’dir.

** 1 asal sayı değildir.

** En küçük asal sayı 2 dir.

** 2’den başka çift asal sayı yoktur. (Çift sayı 2 ye kalansın bölünebilen sayılar. )

** İki basamaklı bir doğal sayının asal olup olmadığını anlamak için sayının sırasıyla 2, 3, 5 ve 7 ile

tam bölünüp bölünmediğine bakılır.

Asal Çarpanlar

Bir tam sayının çarpanlarından asal olanlara bu tam sayının asal çarpanları denir.

Örnek: 20 = {1,2,4,5,10,20 }

20 sayısının asal çarpanları: 2 ve 5 tir.

Örnek: 38 = {1,2,19,38 }

38 sayısının asal çarpanları: 2 ve 19 dur.

Asal Çarpanlara Ayırma

1’den büyük ve asal olmayan her tam sayı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde ifade edilebilir.

Bir tam sayının asal çarpanları bulunurken sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak bölüm 1

olana dek asal sayılara sırasıyla bölünür. Bunun için çarpan ağacı veya bölen listesi (Asal Çarpan

Algoritması) kullanılır.

Çarpan Ağacı

Sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde dallara ayırıp, asal olanları yuvarlak içine alırız.

Çarpan Algoritması

Verilen sayıyı bölen en küçük asal sayı çizginin sağına yazılarak soldaki sayı sağdaki sayıya bölünür. Bu işlemlere bölüm 1 olana kadar

Bir doğal sayı, asal çarpanlarının üslü biçimde çarpımı olarak ifade edildiğinde her bir üs 1

arttırılarak çarpılır. Elde edilen çarpım o doğal sayının pozitif çarpanlarının sayısını verir.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB )

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne, bu sayıların En Büyük Ortak

Böleni (EBOB) denir.

A ile B doğal sayılarının en büyük ortak böleni; EBOB(A, B) veya (A,B)ebob şeklinde gösterilir.

Örnek 10: 16 ve 24 sayılarının en büyük ortak bölenini kaçtır?

16’nın bölenleri = {1,2,4,8,16}

24 ün bölenleri = {1,2,3,4,6,8,12,24}

16 ve 24 ün En Büyük Ortak Böleni;8 dir.

EBOB (16,24)=8

Daha kolay yapmak için algoritma kullanalım. Birbirinden farklı iki doğal sayının en büyük ortak böleni bulunurken sayıları birlikte asal çarpanlarına ayırırız. Çarpanlarına ayırırken sayıların her ikisinide bölen asal sayıları işaretleriz. İşaretlediğimiz asal sayıların çarpımı bize bu doğal sayıların EBOB’unu verir.

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne, bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir.

A ile B doğal sayılarının en küçük ortak katı; EKOK(A,B) veya (A,B)ekok şeklinde gösterilir.

Örnek 10 : 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katı kaçtır?

4 ün katları = {4,8,12,16,20,24, 28,…}

6 nın katları = {6,12,18,24,30,…}

4 ve 6 nın en küçük ortak katı; 24 dür.

EKOK (4,6)=24

Daha kolay yapmak için algoritma kullanalım. Birbirinden farklı iki doğal sayının en büyük ortak böleni bulunurken sayıları birlikte asal çarpanlarına ayırırız. Elde ettiğimiz asal sayıların tamamının çarpımı bize bu doğal sayıların EKOK’unu verir.

Not: Birbirinin katı olan doğal sayılarda ebob küçük sayıya, ekok büyük sayıya eşittir.

Asal çarpanlarına ayrılmış ifadelerin; EBOB’u; Tabanları aynı olanlardan üssü küçük olanların çarpım şeklinde yazılmasıyla bulunur

EKOK’u; Tabanları aynı olanlardan üssü büyük olanlar ile tabanları aynı olmayanların çarpım şeklinde yazılmasıyla bulunur.

İki doğal sayının çarpımı bu doğal sayıların EBOB u ile EKOK larının çarpımına eşittir.

EBOB Problemleri

Problemlerde bir bütünü parçalama işlemi varsa yani bütünden parçaya gidiliyorsa EBOB kullanılır.

Problemlerde;

…………….. eşit ağırlıklta

…………….. eşit hacimli

…………….. eşit aralıklarla                   ifadeleri bulunuyorsa; EBOB.

…………….. eşit sayıda

…………….. eşit uzunlukta

…………….. eşit büyüklükte

Aralarında Asal Sayılar

İki doğal sayının “1” den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.

• 1 sayısı, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
• Asal sayılar birbirleriyle aralarında asaldır.
• Ardışık sayılar daima aralarında asaldır.

Not: Sayıların aralarında asal olması için asal olmaları gerekmez.